BOJ 10836 - 여왕벌

문제 링크

문제#

크기가 MxM인 격자 형태의 벌집이 있다. 이 벌집의 각 칸에는 여왕벌이 될 애벌레들이 한 마리씩 자라고 있다.

격자칸의 좌표계를 다음과 같이 설정한다. 제일 왼쪽 위 칸의 좌표는 (0,0)이다. 그 아래쪽 칸들의 좌표는 순서대로 (1,0), (2,0), ...등이다. 좌표가 (i,0)인 칸의 오른쪽 칸들의 좌표는 순서대로 (i, 1), (i,2), ... 등이다.

애벌레들은 매일 에너지를 모아서 정오(낮 12시) 에 한번 자라는데, 여기에 걸리는 시간은 매우 짧아서 무시할 수 있다. 첫날 아침 모든 애벌레들의 크기는 1이고, 이러한 과정을 N일 동안 반복한다.

각 애벌레가 자라서 크기가 커지는 정도는 하루에 +0, +1, +2의 세 가지 중 하나이다. 더하기(+) 기호는 앞으로 생략한다. 구체적으로 각 애벌레가 자라는 정도를 결정하는 규칙은 다음과 같다.

1. 제일 왼쪽 열과, 제일 위쪽 행의 애벌레들은 자신이 자라는 정도를 스스로 결정한다. 이들은 입력으로 주어질 것이다. 애벌레들이 자라는 정도를 왼쪽 제일 아래 칸에서 시작하여 위쪽으로 가면서 읽고, 제일 위쪽 칸에 도착하면 오른쪽으로 가면서 행의 끝까지 읽었다고 하자. 모든 입력에서 이렇게 읽은 값들은 감소하지 않는 형태이다.
2. 나머지 애벌레들은 자신의 왼쪽(L), 왼쪽 위(D), 위쪽(U)의 애벌레들이 다 자란 다음, 그 날 가장 많이 자란 애벌레가 자란 만큼 자신도 자란다.

M = 4, N = 2인 예를 하나 들어보자. 다음은 각 격자에 있는 애벌레의 첫날 아침의 크기이다.

2일 동안 제일 왼쪽 열과 제일 위쪽 행에 있는 7마리의 애벌레들이 자라는 정도를 왼쪽 제일 아래칸에서 시작하여 위쪽으로 가면서 읽고, 제일 위쪽 칸에 도착하면 오른쪽으로 가면서 행의 끝까지 읽었을 때, 다음과 같다고 하자.

• 1일: 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2
• 2일: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2

첫날 저녁에 애벌레들은 아래와 같은 크기를 가진다. 예를 들어, 좌표 (1,1)의 애벌레는 왼쪽 애벌레의 크기가 1만큼 자랐고, 왼쪽 위의 애벌레가 1만큼 자랐고, 위쪽 애벌레도 1만큼 자랐으므로, 자신도 1만큼을 자란다. 또, 좌표 (3,3)의 애벌레는 규칙을 따르면 2만큼 자람을 알 수 있다.

둘째 날이 지났을 때는 동일한 과정에 따라 다음과 같이 됨을 확인할 수 있다.

격자칸의 크기, 날자 수, 날자별 제일 왼쪽 열과 제일 위쪽 행의 애벌레들이 자라는 정도를 입력으로 받아 마지막 날 저녁의 애벌레들의 크기를 출력하는 프로그램을 작성하라

입력#

입력의 첫 줄에는 격자칸의 가로와 세로 크기 M(2 <= M <= 700)과 날짜 수 N(1 <= N <= 1,000,000)이 자연수로 주어진다. 첫날 아침의 애벌레 크기는 모두 1이므로 입력에 주어지지 않는다. 다음 N개의 줄에는 첫날부터 순서대로 제일 왼쪽 열과 제일 위쪽 행의 애벌레들이 자라는 정도가 다음의 형식으로 주어진다. 본문에서 보인 것과 같이, 자라는 크기를 제일 왼쪽 아래 칸에서 시작해서 위쪽으로 올라가서 제일 위쪽에 도착하면 오른쪽으로 이동하며 읽었다고 하자. 이 값들은 감소하지 않는다. 따라서, 이 수열을 처음부터 읽었을 때 0의 개수, 1의 개수, 2의 개수를 순서대로 입력에 준다. 하루에 대해서 이 세 개수들의 합은 2M-1임이 자명하다. 세 값들 중에 0이 있을 수 있다

출력#

M개의 줄에 각각 M개의 자연수를 출력한다. 이는 각 애벌레의 마지막 날 저녁의 크기를 첫 행부터, 각 행에서는 왼쪽부터 제시한 것이다. (본문의 예와 동일한 형태이다.)

풀이#

처음에는 2차원 배열 전체에 대해 누적합이나 시뮬레이션을 해야 할 것처럼 보이지만, 실제로는 가장자리 정보만 관리해도 충분하다.

핵심은 내부 칸의 성장이 항상 왼쪽, 왼쪽 위, 위쪽 중 최댓값을 따라간다는 점이다. 그런데 입력으로 주어지는 가장자리 성장량은 0, 1, 2가 이 순서대로 등장하는 감소하지 않는 수열이다. 그래서 어떤 위치의 최댓값도 결국 위쪽 방향에서 전달되는 값으로 정리되고, 내부 전체를 따로 저장하지 않아도 맨왼쪽 열과 맨위쪽 행의 최종 성장량만 알면 전체 격자를 복원할 수 있다.

이를 위해 길이 2M - 1의 배열 하나를 두고, 왼쪽 아래에서 위로 올라간 뒤 맨 위 행을 오른쪽으로 가는 순서를 그대로 대응시킨다. 초기값은 모두 1이고, 매일 입력되는 zero, one, two를 이용해 증가량이 1인 구간과 2인 구간만 더해 주면 된다. 감소하지 않는 수열이기 때문에 실제 성장값 전체를 읽지 않고도 구간 업데이트처럼 처리할 수 있다.

최종 출력 단계에서는 이 배열의 앞 M개를 뒤집어 첫 열로 사용하고, 나머지 M - 1개를 각 행의 오른쪽 부분에 그대로 붙이면 마지막 벌집 상태를 만들 수 있다. 문제를 2차원 전체가 아니라 가장자리 성장 정보의 누적으로 바꿔 보는 것이 핵심이다.

코드#

#include <iostream>
using namespace std;
 
int m, n;
int sum[1400];
 
void solve() {
	fill(sum, sum + 1400, 1);
	
	for (int day = 0; day < n; day++) {
		int zero, one, two;
		cin >> zero >> one >> two;
 
		int idx = zero;
		for (int i = 0; i < one; i++)
			sum[idx++]++;
 
		for (int i = 0; i < two; i++)
			sum[idx++] += 2;
	}
 
 
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		cout << sum[m - 1 - i] << " ";
		for (int j = m; j < 2 * m - 1; j++) 
			cout << sum[j] << " ";
		cout << '\n';
	}
}
 
int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);
	cout.tie(NULL);
 
	cin >> m >> n;
	solve();
}

복잡도#

• 시간 복잡도: $O(N + M^2)$
• 공간 복잡도: $O(M)$

마무리#

겉으로는 벌집 전체를 매일 갱신해야 할 것처럼 보이지만, 입력 수열의 단조성과 내부 칸의 전파 규칙을 합치면 가장자리만 추적해도 충분하다. 2차원 문제를 2M - 1 크기의 1차원 배열로 축소한 점이 이 풀이의 핵심이다.