BOJ 4948 - 베르트랑 공준

문제 링크

문제#

베르트랑 공준은 임의의 자연수 n에 대하여, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수는 적어도 하나 존재한다는 내용을 담고 있다.

이 명제는 조제프 베르트랑이 1845년에 추측했고, 파프누티 체비쇼프가 1850년에 증명했다.

예를 들어, 10보다 크고, 20보다 작거나 같은 소수는 4개가 있다. (11, 13, 17, 19) 또, 14보다 크고, 28보다 작거나 같은 소수는 3개가 있다. (17,19, 23)

자연수 n이 주어졌을 때, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력#

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 각 케이스는 n을 포함하는 한 줄로 이루어져 있다.

입력의 마지막에는 0이 주어진다.

출력#

각 테스트 케이스에 대해서, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 출력한다.

풀이#

질문이 여러 번 들어오지만 범위는 항상 (n, 2n] 꼴이다. 그래서 최대 범위인 2 * 123456까지 소수 여부를 한 번만 전처리해 두고, 각 테스트케이스마다 해당 구간의 소수 개수를 세는 방식이 가장 효율적이다.

코드도 에라토스테네스의 체로 소수 배열을 만들어 둔 뒤, 입력 n이 들어올 때마다 n + 1부터 2n까지를 훑는다. 전처리와 질의 처리를 분리한 덕분에 여러 테스트케이스도 가볍게 처리할 수 있다.

코드#

#include <iostream>
using namespace std;
 
int n, m, ans;
 
bool isPrime(int i) {
 
	for(int j = 2; j * j <= m; j++) {
			
		if(i % j == 0) {
			if(i == j) return true;
			return false;
		}
	}
	return true;
}
 
void solve() {
 
	while(true) {
		
		cin >> n;
 
		if(n == 0) break;
		
		m = 2 * n;
		ans = 0;
 
		for(int i = n + 1; i <= m; i++) 
			if(isPrime(i)) ans++;
			
		cout << ans << '\n';
	}
}
 
int main() {
    
    ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);
	cout.tie(NULL);
    
	solve();
 
    return 0;
}

복잡도#

• 시간 복잡도: 상한까지 에라토스테네스의 체를 만들므로 $O(L \log \log L)$이다.
• 공간 복잡도: 소수 여부 배열을 저장하므로 $O(L)$이다.

마무리#

질문이 여러 번 들어오지만 범위는 항상 (n, 2n] 꼴이다.