문제
1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.
골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.
2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.
입력
첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.
출력
각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.
풀이
골드바흐 파티션 중에서도 차이가 가장 작은 두 소수를 찾아야 하므로, n / 2에서 바깥쪽으로 퍼져 나가는 방식이 잘 맞는다. 두 수가 서로 가장 가까운 조합은 중앙에서 시작했을 때 가장 먼저 발견된다.
코드는 소수 여부를 미리 구한 뒤, a = n / 2, b = n / 2에서 시작해 둘 다 소수인지 확인하면서 범위를 넓힌다. 한 번 소수쌍을 찾는 순간 그 조합이 곧 정답이다.
코드
#include <iostream>
using namespace std;
int t;
bool isPrime(int n) {
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
if (n == i) return true;
else return false;
}
}
return true;
}
void solve() {
int n, c1, c2;
while (t--) {
cin >> n;
c2 = n / 2;
c1 = c2;
while (true) {
if (isPrime(c1) && isPrime(c2))
break;
c2++;
c1--;
}
cout << c1 << " " << c2 << '\n';
}
}
int main() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
cout.tie(NULL);
cin >> t;
solve();
return 0;
}복잡도
- 시간 복잡도: 소수 전처리 뒤 각 테스트에서 후보를 찾으므로 전체 이다.
- 공간 복잡도: 소수 여부 배열을 저장하므로 이다.
마무리
골드바흐 파티션 중에서도 차이가 가장 작은 두 소수를 찾아야 하므로, n / 2에서 바깥쪽으로 퍼져 나가는 방식이 잘 맞는다.
