방과후
ALGORITHM NOTE약 1분

BOJ 1992 - 쿼드트리

0과 1로 압축!

#algorithm#boj#silver#recursion
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문제 링크

문제

흑백 영상을 압축하여 표현하는 데이터 구조로 쿼드 트리(Quad Tree)라는 방법이 있다. 흰 점을 나타내는 0과 검은 점을 나타내는 1로만 이루어진 영상(2차원 배열)에서 같은 숫자의 점들이 한 곳에 많이 몰려있으면, 쿼드 트리에서는 이를 압축하여 간단히 표현할 수 있다.

주어진 영상이 모두 0으로만 되어 있으면 압축 결과는 "0"이 되고, 모두 1로만 되어 있으면 압축 결과는 "1"이 된다. 만약 0과 1이 섞여 있으면 전체를 한 번에 나타내지를 못하고, 왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래, 이렇게 4개의 영상으로 나누어 압축하게 되며, 이 4개의 영역을 압축한 결과를 차례대로 괄호 안에 묶어서 표현한다

위 그림에서 왼쪽의 영상은 오른쪽의 배열과 같이 숫자로 주어지며, 이 영상을 쿼드 트리 구조를 이용하여 압축하면 "(0(0011)(0(0111)01)1)"로 표현된다. N ×N 크기의 영상이 주어질 때, 이 영상을 압축한 결과를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에는 영상의 크기를 나타내는 숫자 N 이 주어진다. N 은 언제나 2의 제곱수로 주어지며, 1 ≤ N ≤ 64의 범위를 가진다. 두 번째 줄부터는 길이 N의 문자열이 N개 들어온다. 각 문자열은 0 또는 1의 숫자로 이루어져 있으며, 영상의 각 점들을 나타낸다.

출력

영상을 압축한 결과를 출력한다.

풀이

현재 구간이 모두 같은 값이면 그대로 출력하고, 아니면 네 구역으로 나눠 같은 작업을 반복하면 된다. 그래서 재귀적으로 영역을 쪼개는 분할 정복이 자연스럽다.

코드에서는 정사각형 한 구역을 검사해 0과 1이 섞여 있는지 확인하고, 섞여 있다면 괄호를 열고 네 방향을 순서대로 재귀 호출한다. 모두 같다면 그 값 하나만 출력한다.

결국 문제의 핵심은 언제 더 쪼개고, 언제 멈출지를 정하는 것이다. 출력 형식이 재귀 구조와 딱 맞아떨어지는 전형적인 분할 정복 문제다.

코드

java
import java.io.*;
import java.util.*;
 
public class Main {
 
    static int[][] graph;
    static StringBuilder sb = new StringBuilder();
 
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int N = Integer.parseInt(br.readLine());
        graph = new int[N + 1][N + 1];
 
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            String input = br.readLine();
            for (int j = 1; j <= N; j++)
                graph[i][j] = input.charAt(j - 1) - '0';
        }
 
        solve(1, 1, N);
        System.out.println(sb);
    }
 
    static void solve(int x, int y, int N) {
        int firstElement = graph[x][y];
        boolean isSame = true;
 
        for (int i = x; i < x + N; i++) {
            for (int j = y; j < y + N; j++) {
                if (firstElement != graph[i][j]) {
                    isSame = false;
                    break;
                }
            }
 
            if (!isSame)
                break;
        }
 
        callRecursion(x, y, N, isSame);
    }
 
    static void callRecursion(int x, int y, int N, boolean isSame) {
        if (isSame)
            sb.append(graph[x][y]);
        else {
            sb.append("(");
            for (int i = 0; i < 2; i++)
                for (int j = 0; j < 2; j++)
                    solve(x + (N * i) / 2, y + (N * j) / 2, N / 2);
            sb.append(")");
        }
    }
}

복잡도

  • 시간 복잡도: 각 분할 단계에서 영역을 검사하므로 최악의 경우 O(N2log⁡N)O(N^2 \log N)이다.
  • 공간 복잡도: 영상 배열과 재귀 스택을 사용하므로 O(N2)O(N^2)이다.

마무리

영역이 한 색이면 압축하고 아니면 넷으로 쪼개는 재귀가 쿼드트리 정의 자체다.